Domaine de nombres complexes

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revendication 1. La construction du champ de nombres complexes.

Considérons l'ensemble. Nous définissons une opération binaire addition, multiplication opération unaire et de définir les éléments.

A:

;

;

.

Laissez :.

Théorème 1. L'algèbre est un champ.

Preuve. Nous vérifions que l'algèbre est un groupe abélien.

Pour

.

Pour

.

Pour

.

Pour

(.

vérifier que l'opération - associative, ce est à dire

.

En effet,

.

Nous vérifions la loi distributive à gauche, ce est à dire

.

En effet,

,

.

De même, nous pouvons vérifier la validité du droit de droit Distributivity.

De ce qui précède se est avéré que l'algèbre est un anneau.

Nous vérifions que l'anneau est commutatif, ie.

En effet,

.

Nous vérifions que - une bague avec une identité, ce est à dire

.

En effet,

.

Depuis lors.

Nous prouvons que chaque élément non nul de l'anneau est réversible. Supposons, ce qui est équivalent. Envisager une paire et vérifier que le paire est l'inverse de la paire. En effet,

.

De ce qui précède prouvé que l'algèbre - champ.

Définition. Le champ est appelé le domaine de complexe numéros, et ses éléments - les nombres complexes.

paragraphe 2. Notation algébrique des nombres complexes.

Symbole. Ensemble de nombres complexes sont acceptés étiquetage, ie. Adopté la notation suivante:

.

Théorème 2. Chaque nombre complexe peut être, et, en outre, unique, écrite sous la forme:

, où. (Cela se appelle une forme algébrique d'un nombre complexe).

Preuve. Il ya certains qui. Avoir

.

Théorème 3. Le nombre a la propriété :.

Preuve..

De l'équation, il se ensuit que.

Définition. Laissez où. Nombre est appelé la partie réelle, - Imaginaire partie d'un nombre complexe. Ecrire.

Laissez - la notation algébrique un nombre complexe. Puis:

Si, ensuite;

si vous le pouvez.

Définition. Se il existe un nombre complexe est appelé pur nombre imaginaire.

Actions sur complexe numéros en forme algébrique

1)

.

En d'autres termes: le nombre complexe est égale à zéro si et seulement lorsqu'il a des parties réelle et imaginaire sont égaux à zéro.

Preuve..

2)

.

En d'autres termes: deux nombres complexes sont égaux si et que si elles sont respectivement les parties réelle et imaginaire.

Preuve..

3)

.

En d'autres termes: pour ajouter deux nombres complexes, doivent donc, à déposer les parties réelles et imaginaires.

Preuve.

.

4)

.

Preuve.

.

5)

.

Preuve..

6), si vous le pouvez

.

Preuve.

.

revendication 3. opération de conjugaison.

Définition. Laissez le nombre complexe écrit en forme algébrique. Lié au numéro appelé Numéro.

Les propriétés des opérations appariement

Pour ,, où.

1).

Preuve.

.

2).

Preuve..

3).

Preuve.

.

.

4) Si un SUP1; 0 ,.

Preuve..

5).

Preuve..

6).

Preuve..

Avec l'opération de conjugaison est pratique à transporter la division des nombres complexes. Pour enregistrer en algébrique fraction formu...


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